\documentclass[t,12pt,aspectratio=169]{beamer} % 16:9 宽屏比例，适合现代投影
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{setspace}
%\onehalfspacing
\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 每页增加与上面标题行的距离
\addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace*{0.7em}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usetheme{Madrid} % 主题设置（推荐简洁风格）
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{高中数学第十一章 - 空间向量与立体几何}
\subtitle{第四节 - 空间向量的应用 // 第二小节 - 用空间向量研究距离、夹角问题}
\author{人教版}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 标题页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目录页
%\begin{frame}[allowframebreaks]{Contents}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item  11.4.1. 用空间向量研究直线、平面的位置关系
\item  11.4.2. 用空间向量研究距离、夹角问题
\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{11.4.2. 用空间向量研究距离、夹角问题}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.4.2. }


我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些距离问题呢？

下面我们先研究用向量方法求直线 $\ell$ 外一点 $P$ 到直线 $\ell$ 的距离。

\textbf{探究}

已知直线 $\ell$ 的单位方向向量为 $\boldsymbol{u}$，$A$ 是直线 $\ell$ 上的定点，$P$ 是直线 $\ell$ 外一点。如何利用这些条件求点 $P$ 到直线 $\ell$ 的距离？

\newpage 

如图 1.4-16，向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $\ell$ 上的投影向量为 $\overrightarrow{AQ}$，则 $\triangle APQ$ 是直角三角形。

因为 $A, P$ 都是定点，所以 $|\overrightarrow{AP}|$，$\overrightarrow{AP}$ 与 $\boldsymbol{u}$ 的夹角 $\angle PAQ$ 都是确定的。

于是可求 $|\overrightarrow{AQ}|$，再利用勾股定理，可以求出点 $P$ 到直线 $\ell$ 的距离 $PQ$。

设 $\overrightarrow{AP} = \boldsymbol{a}$，则向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $\ell$ 上的投影向量 $\overrightarrow{AQ} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \boldsymbol{u}$。

在 Rt$\triangle APQ$ 中，由勾股定理，得
\[
PQ = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 - |\overrightarrow{AQ}|^2} = \sqrt{\boldsymbol{a}^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u})^2}.
\]


% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-16}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2.4, >=Stealth, thick]

        % 定义点的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (1,0);
        \coordinate (Q) at (2,0);
        \coordinate (P) at (2,1.5);
        \coordinate (M) at (-1,0);
        \coordinate (N) at (3,0);

        % 绘制直线ell
        \draw[dashed] (M) -- (N) node[right]{$\ell$};

        % 绘制投影线
        \draw[dashed] (P) -- (Q);

        % 标注点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (P) circle (1.5pt) node[below right] {$P$};
        \fill[blue] (Q) circle (1.5pt) node[below right] {$Q$};

        % 绘制向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple, line width=2pt] (A) -- (P) node[midway,above] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (A) -- (Q);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple, line width=2pt] (A) -- (B) node[midway,below] {$u$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-16}
    \label{fig:1.4-16}
\end{figure}


\newpage 

\textbf{思考}

类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？



\newpage

我们再来看平面 $\alpha$ 外一点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离问题。

如图 1.4-17，已知平面 $\alpha$ 的{\color{red}法向量}为 $\boldsymbol{n}$，$A$ 是平面 $\alpha$ 内的定点，$P$ 是平面 $\alpha$ 外一点。

过点 $P$ 作平面 $\alpha$ 的垂线 $\ell$，交平面 $\alpha$ 于点 $Q$，则 $\boldsymbol{n}$ 是直线 $\ell$ 的{\color{red}方向向量}。

点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离就是 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $\ell$ 上的投影向量 $\overrightarrow{QP}$ 的长度，因此
%
\[
PQ = \left| \overrightarrow{PQ} \right|
= \left| \overrightarrow{PA} \cdot \frac{-\boldsymbol{n}}{|-\boldsymbol{n}|} \right| 
= \left| \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|} \right| 
= \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}.
\]
%
注：在示意图1.4-17中，法向量 $\boldsymbol{n}$ 与向量 $\overrightarrow{PQ}$ 方向相反，因此加了负号。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-17}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 外围平面alpha
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (2,2,0);
        \coordinate (D1) at (2,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.3] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-1.7,-1.7,0) {$\alpha$}; 

        % 平面alpha的法向量n
        \coordinate (E) at (-1,-1,0);
        \coordinate (F) at (-1,-1,1);
        \draw[thick,purple,line width=1pt] (E) -- (F);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E) -- (F) node[midway,right] {$\mathbf{n}$};

        % 点A,P,Q
        \coordinate (A) at (-0.5,-0.5,0);
        \coordinate (P) at (1,1,1.5);
        \coordinate (Q) at (1,1,0);

        % 标记点A,P,Q
        \fill[purple] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[purple] (P) circle (1.0pt) node[below right] {$P$};
        \fill[purple] (Q) circle (1.0pt) node[below right] {$Q$};

        \draw[thick,purple,line width=1pt] (A) -- (P);
        \draw[thick,purple,line width=1pt] (A) -- (Q);
        \draw[thick,purple,line width=1pt] (P) -- (Q);

        % 直线ell
        \draw[dashed] (1,1,-1) -- (1,1,2) node[right] {$\ell$};
 
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-17}
    \label{fig:1.4-17}
\end{figure}


\newpage 

\textbf{例6.}

如图 1.4-18，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为线段 $AB$ 的中点，$F$ 为线段 $A_1B_1$ 的中点。

\begin{enumerate}
    \item 求点 $B_1$ 到直线 $A_1C$ 的距离。
    \item 求直线 $FC_1$ 到平面 $A_1EC$ 的距离。
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-18}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 正方体的顶点坐标
        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (2,0,0);
        \coordinate (B) at (2,2,0);
        \coordinate (C) at (0,2,0);
        \coordinate (A1) at (2,0,2);
        \coordinate (B1) at (2,2,2);
        \coordinate (C1) at (0,2,2);
        \coordinate (D1) at (0,0,2);

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[above right] {$D_1$};

        % 正方体的棱、线段
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 有些面给阴影
 %       \fill[blue!20, opacity=0.5] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) -- cycle;

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,1) node[above] {$\mathbf{z}$};

        % 待研究的点、线段
        \coordinate (E) at (2,1,0);
        \coordinate (F) at (2,1,2);

        \draw[thick,purple] (A1) -- (E);
        \draw[dashed,purple] (E) -- (C);
        \draw[dashed,purple] (A1) -- (C);
        \draw[thick,purple] (C1) -- (F);
        \fill[purple] (E) circle (1.5pt) node[below] {$E$};
        \fill[purple] (F) circle (1.5pt) node[below] {$F$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-18}
    \label{fig:1.4-18}
\end{figure}



\textbf{分析：}

根据条件建立{\color{red}空间直角坐标系}，用{\color{red}坐标}表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过{\color{red}坐标运算}得出相应的距离。

\newpage

\textbf{解：}

以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图 1.4-18 所示的空间直角坐标系。

则一些点的坐标为 $A_1(1, 0, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$, $C_1(0, 1, 1)$, $C(0, 1, 0)$, $E(1, \frac{1}{2}, 0)$, $F(1, \frac{1}{2}, 1)$. 

所以相应的向量的坐标为
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A_1B_1} = (0, 1, 0), \quad \overrightarrow{A_1C} = (-1, 1, -1), \quad \overrightarrow{A_1E} = (0, \frac{1}{2}, -1), \\ 
\overrightarrow{EC} = (-1, \frac{1}{2}, 0), \quad \overrightarrow{FC_1} = (-1, \frac{1}{2}, 0), \quad \overrightarrow{A_1F} = (0, \frac{1}{2}, 0).
\end{aligned}
$$

\newpage

(1) 求点 $B_1$ 到直线 $A_1C$ 的距离。

解：取 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{A_1B_1} = (0, 1, 0)$, $\boldsymbol{u} = \frac{\overrightarrow{A_1C}}{|\overrightarrow{A_1C}|} = \frac{\sqrt{3}}{3}(-1, 1, -1)$，则 $\boldsymbol{a}^2 = 1$，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. 

所以，点 $B_1$ 到直线 $A_1C$ 的距离为
\[
\sqrt{\boldsymbol{a}^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.
\]



% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 正方体的顶点坐标
        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (2,0,0);
        \coordinate (B) at (2,2,0);
        \coordinate (C) at (0,2,0);
        \coordinate (A1) at (2,0,2);
        \coordinate (B1) at (2,2,2);
        \coordinate (C1) at (0,2,2);
        \coordinate (D1) at (0,0,2);

        % 标记点
        %\fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below] {$A$};
        %\fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below] {$C$};
        %\fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
        %\fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
        %\fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[above right] {$D_1$};

        % 正方体的棱、线段
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 有些面给阴影
 %       \fill[blue!20, opacity=0.5] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) -- cycle;

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,1) node[above] {$\mathbf{z}$};

        % 待研究的点、线段
        %\coordinate (E) at (2,1,0);
        %\coordinate (F) at (2,1,2);

        %\draw[thick,purple] (A1) -- (E);
        %\draw[dashed,purple] (E) -- (C);
        \draw[dashed,purple] (A1) -- (C);
        %\draw[thick,purple] (C1) -- (F);
        %\fill[purple] (E) circle (1.5pt) node[below] {$E$};
        %\fill[purple] (F) circle (1.5pt) node[below] {$F$};

        % 待研究的向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple, line width=1pt] (A1) -- (B1) node[midway,above] {$\boldsymbol{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple, line width=1pt] (A1) -- (C);

        %\coordinate (C) at (0,2,0);
        %\coordinate (A1) at (2,0,2);
        \coordinate (A1C) at (1,1,1); % A1C上的单位向量

        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple, line width=1pt] (A1) -- (A1C) node[midway,below] {$\boldsymbol{u}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-18-i}
    \label{fig:1.4-18-i}
\end{figure}



% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 正方体的顶点坐标
        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (2,0,0);
        \coordinate (B) at (2,2,0);
        \coordinate (C) at (0,2,0);
        \coordinate (A1) at (2,0,2);
        \coordinate (B1) at (2,2,2);
        \coordinate (C1) at (0,2,2);
        \coordinate (D1) at (0,0,2);

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below] {$A$};
        %\fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below] {$C$};
        %\fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        %\fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
        %\fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[above right] {$D_1$};

        % 正方体的棱、线段
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 有些面给阴影
 %       \fill[blue!20, opacity=0.5] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) -- cycle;

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,1) node[above] {$\mathbf{z}$};

        % 待研究的点、线段
        \coordinate (E) at (2,1,0);
        \coordinate (F) at (2,1,2);

        \draw[thick,purple] (A1) -- (E);
        \draw[dashed,purple] (E) -- (C);
        \draw[dashed,purple] (A1) -- (C);
        \draw[thick,purple] (C1) -- (F);
        \fill[purple] (E) circle (1.5pt) node[below] {$E$};
        \fill[purple] (F) circle (1.5pt) node[below] {$F$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-18-ii}
    \label{fig:1.4-18-ii}
\end{figure}


(2) 求直线 $FC_1$ 到平面 $A_1EC$ 的距离。

解：因为 $\overrightarrow{FC_1} = \overrightarrow{EC} = (-1, \frac{1}{2}, 0)$，所以 $FC_1 \parallel EC$，所以 $FC_1 \parallel$ 平面 $A_1EC$. 

所以点 $F$ 到平面 $A_1EC$ 的距离即为直线 $FC_1$ 到平面 $A_1EC$ 的距离。

设平面 $A_1EC$ 的法向量为 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$，则 
\(
\begin{cases}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1E} = 0, \\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EC} = 0.
\end{cases}
\)

代入这些向量的坐标，根据数量积的定义，可得 
\(
\begin{cases}
\frac{1}{2}y - z = 0, \\
-x + \frac{1}{2}y = 0.
\end{cases}
\)

求解线性方程组，可得 $x = z, y = 2z$. 

取 $z = 1$, 则 $x = 1, y = 2$, 因此 $\boldsymbol{n} = (1, 2, 1)$ 是平面 $A_1EC$ 的一个法向量。

又因为 $\overrightarrow{A_1F} = (0, \frac{1}{2}, 0)$，所以{\color{red}（根据图1.4-17的公式）}点 $F$ 到平面 $A_1EC$ 的距离为
%
\[
\frac{|\overrightarrow{A_1F} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} = \left| \frac{(0, \frac{1}{2}, 0) \cdot (1, 2, 1)}{\sqrt{6}} \right| = \frac{\sqrt{6}}{6}.
\]
%
即直线 $FC_1$ 到平面 $A_1EC$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$. 



\newpage

与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

\begin{enumerate}
    \item 建立立体图形与{\color{red}空间向量}的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
    \item 通过{\color{red}向量运算}，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
    \item 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论。
\end{enumerate}




\newpage 

\textbf{练习1.} 在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $A$ 到平面 $B_1BC$ 的距离等于 \_\_\_\_\_\_\_\_；直线 $DC$ 到平面 $ABB_1$ 的距离等于 \_\_\_\_\_\_\_\_；平面 $DA_1$ 到平面 $CB_1$ 的距离等于 \_\_\_\_\_\_\_\_。



\newpage 

\textbf{练习2.} 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为线段 $DD_1$ 的中点，$F$ 为线段 $BB_1$ 的中点。

    \begin{enumerate}
        \item 求点 $A_1$ 到直线 $B_1E$ 的距离；
        \item 求直线 $FC_1$ 到直线 $AE$ 的距离；
        \item 求点 $A_1$ 到平面 $AB_1E$ 的距离；
        \item 求直线 $FC_1$ 到平面 $AB_1E$ 的距离。
    \end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第2题)}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{练习3.} 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求平面 $A_1DB$ 与平面 $D_1CB_1$ 的距离。


\newpage 

与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量。下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题。


\newpage 

\textbf{例7.}
如图 1.4-19，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）$ABCD$ 中，$M, N$ 分别为 $BC, AD$ 的中点，求直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-19}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{45} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2.7, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 正方体的顶点坐标
        \coordinate (A) at ( 0.5, 0.289, 0.816); % (1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6)/3)
        \coordinate (B) at (0,0,0); % 
        \coordinate (C) at (1,0,0);
        \coordinate (D) at (0.5, 0.866, 0); %(1/2, sqrt(3)/2, 0)
        \coordinate (M) at (0.5,0,0); %(B+C)/2
        \coordinate (N) at ( 0.5, 0.577, 0.408); % (A+D)/2
        
        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.0pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (M) circle (1.0pt) node[below left] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (1.0pt) node[above right] {$N$};

        % 正方体的棱、线段
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (C) -- (A);
        \draw[dashed] (B) -- (D);
        \draw[thick] (A) -- (M);
        \draw[thick] (C) -- (N);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-19}
    \label{fig:1.4-19}
\end{figure}



\textbf{分析：}

求直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值，可以转化为求向量 $\overrightarrow{MA}$ 与 $\overrightarrow{CN}$ 夹角的余弦值。

为此需要把向量 $\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{CN}$ 用适当的基底表示出来，进而求得向量 $\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{CN}$ 夹角的余弦值。


\newpage

\textbf{解：}
\textbf{先化为向量问题。}
如图 1.4-19，以 $\{\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}\}$ 作为基底，则
\[
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{CB}, \quad \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD}).
\]

设向量 $\overrightarrow{CN}$ 与 $\overrightarrow{MA}$ 的夹角为 $\theta$，则直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值等于 $|\cos \theta|$. 

\textbf{再进行向量运算。}
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{CN} \cdot \overrightarrow{MA} &= \frac{1}{2} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD}) \cdot (\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{CB}) \\
&= \frac{1}{2} \overrightarrow{CA}^2 - \frac{1}{4} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} - \frac{1}{4} \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CB} 
= \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]

又 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACD$ 均为等边三角形，所以 $|\overrightarrow{MA}| = |\overrightarrow{CN}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

所以根据数量积的定义，
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{CN} \cdot \overrightarrow{MA}}{|\overrightarrow{CN}| \cdot |\overrightarrow{MA}|} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3}.
\]

% \textbf{回到图形问题}

% 所以直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$.


\newpage

\textbf{思考}

以上我们用向量方法解决了异面直线 $AM$ 和 $CN$ 所成角的问题，你能用向量方法求直线 $AB$ 与平面 $BCD$ 所成的角吗？

一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得。也就是说，若异面直线 $l_1, l_2$ 所成的角为 $\theta$，其方向向量分别是 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$，则


\[
\cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle| = \left| \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{v}|} \right| = \left| \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{v}|} \right|.
\]

类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角。如图 1.4-20，直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $B$，设直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$，直线 $AB$ 的方向向量为 $\boldsymbol{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$，则

\[
\sin \theta = |\cos \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{n} \rangle| = \left| \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{n}|} \right| = \left| \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}| |\boldsymbol{n}|} \right|.
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-20}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-21}
% \end{figure}

如图 1.4-21，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 $90^\circ$ 的二面角称为 \textbf{平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角}。

类似于两条异面直线所成的角，若平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别是 $\boldsymbol{n}_1$ 和 $\boldsymbol{n}_2$，则平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角即为向量 $\boldsymbol{n}_1$ 和 $\boldsymbol{n}_2$ 的夹角或其补角。

设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角为 $\theta$，则

\[
\cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle| = \left| \frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| |\boldsymbol{n}_2|} \right| = \left| \frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| |\boldsymbol{n}_2|} \right|.
\]


\newpage 

\textbf{例8.}

如图 1.4-22，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AC = CB = 2$，$AA_1 = 3$，$\angle ACB = 90^\circ$，$P$ 为 $BC$ 的中点，点 $Q, R$ 分别在棱 $AA_1, BB_1$ 上，$A_1Q = 2AQ$，$BR = 2RB_1$。求平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 夹角的余弦值。

\textbf{分析：}

因为平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角可以转化为平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可。

\textbf{解：}

\textbf{化为向量问题}

以 $C_1$ 为原点，$C_1A_1$、$C_1B_1$、$C_1C$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图 1.4-22 所示的空间直角坐标系。

设平面 $A_1B_1C_1$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_1$，平面 $PQR$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_2$，则平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角就是 $\boldsymbol{n}_1$ 与 $\boldsymbol{n}_2$ 的夹角或其补角。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-22}
% \end{figure}



\textbf{进行向量运算}

因为 $C_1C \perp$ 平面 $A_1B_1C_1$，所以平面 $A_1B_1C_1$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}_1 = (0, 0, 1)$。

根据所建立的空间直角坐标系，可知 $P(0, 1, 3)$，$Q(2, 0, 2)$，$R(0, 2, 1)$。所以 $\overrightarrow{PQ} = (2, -1, -1)$，$\overrightarrow{PR} = (0, 1, -2)$。设 $\boldsymbol{n}_2 = (x, y, z)$，则

\[
\begin{cases}
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{PQ} = 0, \\
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{PR} = 0,
\end{cases}
\]

即

\[
\begin{cases}
2x - y - z = 0, \\
y - 2z = 0.
\end{cases}
\]

所以

\[
\begin{cases}
x = \frac{3}{2}z, \\
y = 2z.
\end{cases}
\]

取 $\boldsymbol{n}_2 = (3, 4, 2)$，则

\[
\cos \langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle = \frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|} = \frac{(0, 0, 1) \cdot (3, 4, 2)}{1 \times \sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}.
\]

\textbf{回到图形问题}

设平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角为 $\theta$，则

\[
\cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle| = \frac{2\sqrt{29}}{29}.
\]

即平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2\sqrt{29}}{29}$。




\newpage 

\textbf{练习1.} 在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$\angle BCA = 90^\circ$，$D_1, F_1$ 分别是 $A_1B_1, A_1C_1$ 的中点，$BC = CA = CC_1$，则 $BD_1$ 与 $AF_1$ 所成角的余弦值是（）。
    \begin{enumerate}
        \item $\frac{\sqrt{30}}{10}$
        \item $\frac{1}{2}$
        \item $\frac{\sqrt{30}}{15}$
        \item $\frac{\sqrt{15}}{10}$
    \end{enumerate}



\newpage 

\textbf{练习2.} $PA, PB, PC$ 是从点 $P$ 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 $60^\circ$，那么直线 $PC$ 与平面 $PAB$ 所成角的余弦值是（）。
    \begin{enumerate}
        \item $\frac{1}{2}$
        \item $\frac{\sqrt{2}}{2}$
        \item $\frac{\sqrt{3}}{3}$
        \item $\frac{\sqrt{6}}{3}$
    \end{enumerate}



\newpage 

\textbf{练习3.} 如图，正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的所有棱长都为 2，求平面 $AA_1B$ 与平面 $A_1BC_1$ 夹角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}



\newpage 

\textbf{练习4.} 如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle BCD$ 所在平面垂直，且 $AB = BC = BD$，$\angle CBA = \angle DBC = 120^\circ$。求：
    \begin{enumerate}
        \item 直线 $AD$ 与直线 $BC$ 所成角的大小；
        \item 直线 $AD$ 与平面 $BCD$ 所成角的大小；
        \item 平面 $ABD$ 和平面 $BDC$ 的夹角的余弦值。
    \end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第4题)}
% \end{figure}




\newpage 

\textbf{例9.}

图 1.4-23 为某种礼物降落伞的示意图，其中有 8 根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为 $30^\circ$。已知礼物的质量为 1 kg，每根绳子的拉力大小相同。

求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度 $g$ 取 $9.8 \, \text{m/s}^2$，精确到 0.01 N）。

\textbf{分析：}

因为降落伞匀速下落，所以降落伞 8 根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小。

8 根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量。

\textbf{解：}
如图 1.4-24，设水平面的单位法向量为 $\boldsymbol{n}$，其中每一根绳子的拉力均为 $\boldsymbol{F}$。

因为 $\langle \boldsymbol{n}, \boldsymbol{F} \rangle = 30^\circ$，所以 $\boldsymbol{F}$ 在 $\boldsymbol{n}$ 上的投影向量为 $\left| \frac{\sqrt{3}}{2} \boldsymbol{F} \right| \boldsymbol{n}$。

所以 8 根绳子拉力的合力
\[
\boldsymbol{F}_{\text{合}} = 8 \times \left| \frac{\sqrt{3}}{2} \boldsymbol{F} \right| \boldsymbol{n} = 4\sqrt{3} |\boldsymbol{F}| \boldsymbol{n}.
\]

又因为降落伞匀速下落，所以

\[
|\boldsymbol{F}_{\text{合}}| = |G_{\text{礼物}}| = 1 \times 9.8 = 9.8 \, (\text{N}).
\]

所以

\[
|4\sqrt{3} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}| = 9.8.
\]

所以

\[
|\boldsymbol{F}| = \frac{9.8}{4\sqrt{3}} \approx 1.41 \, (\text{N}).
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-23}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-24}
% \end{figure}




\newpage 

\textbf{例10.}

如图 1.4-25，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD \perp$ 底面 $ABCD$，$PD = DC$，$E$ 是 $PC$ 的中点，作 $EF \perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$。

(1) 求证：$PA \parallel$ 平面 $EDB$；

(2) 求证：$PB \perp$ 平面 $EFD$；

(3) 求平面 $CPB$ 与平面 $PBD$ 的夹角的大小。

\textbf{分析：}

本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角。

这些问题都可以利用向量方法解决。

由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题。

\textbf{解：}

以 $D$ 为原点，$DA, DC, DP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图 1.4-26 所示的空间直角坐标系，设 $DC = 1$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-25}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-26}
% \end{figure}


(1) \textbf{证明：} 连接 $AC$，交 $BD$ 于点 $G$，连接 $EG$。

依题意得 $A(1, 0, 0)$，$P(0, 0, 1)$，$E\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$。

因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以点 $G$ 是它的中心，故点 $G$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$，且 $\overrightarrow{PA} = (1, 0, -1)$，$\overrightarrow{EG} = \left(\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}\right)$。

所以 $\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{EG}$，即 $PA \parallel EG$。

而 $EG \subset$ 平面 $EDB$，且 $PA \nsubseteq$ 平面 $EDB$，因此 $PA \parallel$ 平面 $EDB$。

(2) \textbf{证明：} 依题意得

\[ B(1, 1, 0), \quad \overrightarrow{PB} = (1, 1, -1). \]

又 $\overrightarrow{DE} = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$，故

\[ \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{DE} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \]

所以 $PB \perp DE$。

由已知 $EF \perp PB$，且 $EF \cap DE = E$，

所以 $PB \perp$ 平面 $EFD$。

(3) \textbf{解：} 已知 $EF \perp EF$，由 (2) 可知 $PB \perp DF$，故 $\angle EFD$ 是平面 $CPB$ 与平面 $PBD$ 的夹角。

设点 $F$ 的坐标为 $(x, y, z)$，则 $\overrightarrow{PF} = (x, y, z-1)$。

因为 $\overrightarrow{PF} = k\overrightarrow{PB}$，所以

\[ (x, y, z-1) = k(1, 1, -1) = (k, k, -k), \]

即 $x = k$，$y = k$，$z = 1-k$。

设 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{DF} = 0$，则

\[ (1, 1, -1) \cdot (k, k, 1-k) = k + k - 1 + k = 3k - 1 = 0. \]

所以 $k = \frac{1}{3}$，点 $F$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$。

又点 $E$ 的坐标为 $\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$，所以

\[ \overrightarrow{FE} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right). \]

所以 $\cos \angle EFD = \frac{\overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{FD}}{|\overrightarrow{FE}| \cdot |\overrightarrow{FD}|} = \frac{\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)}{\sqrt{\frac{6}{6}} \times \sqrt{\frac{6}{3}}} = \frac{1}{2}$。

所以 $\angle EFD = 60^\circ$，即平面 $CPB$ 与平面 $PBD$ 的夹角大小为 $60^\circ$。



通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
% \end{figure}

解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法。你能说出它们各自的特点吗？

综合法以逻辑推理作为工具解决问题；

向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例 7，例 9；

坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例 6，例 8，例 10。

对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法。




\newpage 

\textbf{练习1.} 如图，二面角 $\alpha-l-\beta$ 的棱上有两个点 $A, B$，线段 $BD$ 与 $AC$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $\ell$。

若 $AB = 4$，$AC = 6$，$BD = 8$，$CD = 2\sqrt{17}$，求平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第1题)}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{练习2.} 如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中，$AB = AC = BD = CD = 3$，$AD = BC = 2$，$M, N$ 分别是 $AD, BC$ 的中点。求异面直线 $AN, CM$ 所成角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第2题)}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{练习3.} 如图，在三棱锥 $O-ABC$ 中，$OA, OB, OC$ 两两垂直，$OA = OC = 3$，$OB = 2$。求直线 $OB$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{习题 1.4}


\textbf{复习巩固1.} 如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中，$E$ 是 $CD$ 的中点，点 $F$ 在 $AE$ 上，且 $EF = 2FA$。

设 $\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{c}$，求直线 $AE, BF$ 的方向向量。


\newpage 


\textbf{复习巩固2.} 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB \perp AC$，$AB = AC = 1$，$AA_1 = 2$。以 $A$ 为原点，建立如图所示空间直角坐标系。




% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image1.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第1题)}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image2.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第2题)}
% \end{figure}

(1) 求平面 $BCC_1B_1$ 的法向量。

(2) 求平面 $A_1BC$ 的法向量。



\newpage 

\textbf{复习巩固3.} 如图，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 是 $AB$ 的中点，$F$ 是 $C_1D_1$ 的中点。求证：$A_1E \parallel CF$。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image3.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}


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\textbf{复习巩固4.} 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$AD \perp$ 平面 $BCD$，$M$ 是 $AD$ 的中点，$P$ 是 $BM$ 的中点。

点 $Q$ 在线段 $AC$ 上，且 $AQ = 3QC$。求证：$PQ \parallel$ 平面 $BCD$。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image4.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第4题)}
% \end{figure}



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\textbf{复习巩固5.} 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E$ 在 $BD$ 上，且 $BE = \frac{1}{3}BD$；

点 $F$ 在 $CB_1$ 上，且 $CF = \frac{1}{3}CB_1$。求证：

(1) $EF \perp BD$；

(2) $EF \perp CB_1$。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image5.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第5题)}
% \end{figure}


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\textbf{复习巩固6.} 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$O$ 为平面 $A_1ABB_1$ 的中心，$E$ 为 $BC$ 的中点，求点 $O$ 到直线 $A_1E$ 的距离。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image6.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第6题)}
% \end{figure}


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\textbf{复习巩固7.} 如图，四面体 $OABC$ 的所有棱长都是 1，$D, E$ 分别是 $OA, BC$ 的中点，连接 $DE$。

(1) 计算 $DE$ 的长；

(2) 求点 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离。



% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image7.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第7题)}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image8.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第8题)}
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\textbf{复习巩固8.} 如图，四面体 $ABCD$ 的每条棱长都等于 $a$，$M, N$ 分别是 $AB, CD$ 的中点。求证：$MN \perp AB$，$MN \perp CD$。


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\textbf{复习巩固9.} 如图，$M', N'$ 分别是正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱 $BB'$ 和 $B'C'$ 的中点。求：

(1) $M'N'$ 和 $CD'$ 所成角的大小；

(2) $M'N'$ 和 $AD$ 所成角的大小。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image9.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第9题)}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image10.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第10题)}
% \end{figure}


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\textbf{复习巩固10.} 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E, F, G, H, K, L$ 分别是 $AB, BB_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1D, DA$ 各棱的中点。

(1) 求证：$A_1C \perp$ 平面 $EFGHKL$；

(2) 求 $DB_1$ 与平面 $EFGHKL$ 所成角的余弦值。




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\textbf{综合运用11.} 如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 2$，$BC = CC_1 = 1$，$E$ 是 $CD$ 的中点。求证：$B_1E \perp$ 平面 $AED_1$。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image11.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第11题)}
% \end{figure}


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\textbf{综合运用12.} 如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E, F, G$ 分别在棱 $A_1A, A_1B_1, A_1D_1$ 上，$A_1E = A_1F = A_1G = 1$，点 $P, Q, R$ 分别在棱 $CC_1, CD, CB$ 上，$CP = CQ = CR = 1$。求证：平面 $EFG \parallel$ 平面 $PQR$。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image12.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第12题)}
% \end{figure}




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\textbf{综合运用13.} 如图，已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 1，$E$ 为 $CD$ 的中点，求点 $D_1$ 到平面 $AEC_1$ 的距离。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image13.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第13题)}
% \end{figure}


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\textbf{综合运用14.} 如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 1，$M$ 是棱 $AA_1$ 的中点，$O$ 是 $BD_1$ 的中点。求证：$OM$ 分别与异面直线 $AA_1, BD_1$ 垂直，并求 $OM$ 的长。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image14.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第14题)}
% \end{figure}


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\textbf{综合运用15.} 如图，已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 1，$Q$ 为 $B_1C_1$ 的中点，点 $P$ 在棱 $AA_1$ 上，$AP:AA_1 = 1:3$。求平面 $ABCD$ 与平面 $BQP$ 夹角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image15.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第15题)}
% \end{figure}




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\textbf{拓广探索16.} 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$\angle BAC = 90^\circ$，$AB = AC = 2$，$AA_1 = 3$。$M$ 是 $AB$ 的中点，$N$ 是 $B_1C_1$ 的中点，$P$ 是 $BC_1$ 与 $B_1C$ 的交点。在线段 $A_1N$ 上是否存在点 $Q$，使得 $PQ \parallel$ 平面 $A_1CM$？

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image16.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第16题)}
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\textbf{拓广探索17.} 在空间直角坐标系中，已知向量 $\boldsymbol{u} = (a, b, c)$（$abc \neq 0$），点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，点 $P(x, y, z)$。

(1) 若直线 $\ell$ 经过点 $P_0$，且以 $\boldsymbol{u}$ 为方向向量，$P$ 是直线 $\ell$ 上的任意一点，求证：$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$；

(2) 若平面 $\alpha$ 经过点 $P_0$，且以 $\boldsymbol{u}$ 为法向量，$P$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一点，求证：$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$。



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\textbf{拓广探索18.} 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $ABCD, ABEF$ 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直。活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $AC$ 和 $BF$ 上移动，且 $CM$ 和 $BN$ 的长度保持相等，记 $CM = BN = a$（$0 < a < \sqrt{2}$）。

(1) 求 $MN$ 的长；

(2) $a$ 为何值时，$MN$ 的长最小？

(3) 当 $MN$ 的长最小时，求平面 $MNA$ 与平面 $MNB$ 夹角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
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%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image18.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第18题)}
% \end{figure}



\end{frame}
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\end{document}


